Question

数学分析导数与微分题型求解

Answer 1

1. 利用 Rolle 定理可知，对于任何自然数 k，总存在一列收敛于零的序列使得 f^{(k)}(x_{k,n})=0，所以 f^{(k)}(0)=0。
2. 任取实数 x 以及 ε>0, 总存在 k>0 使得 M^k/k!<ε，利用 Taylor 中值定理
f(x)=f(0)+f'(0)x+...+f^{(k-1)}(0)x^{k-1}/(k-1)!+f^{(k)}(ξ)x^k/k!，
所以 |f(x)|<=M^k/k!<ε。由 ε 的任意性得到 f(x)=0。

楼上做法当中“第一条可得f非增函数也非减函数”太轻描淡写了，其难度和原问题相当。

Answer 2

首先第二条说明Limf(x),x趋向于0的值是f(x)=0，因为Xn=1/2n是趋向于0的数列，根据连续性的定义可得f(0)=0.
第一条可得f非增函数也非减函数，又因f是连续的，因此f是常数函数。因此f的所有值等于在f(0)的值，因此为0。