Question

设A为m*n矩阵,B为k*n矩阵,且r(A)+r(B)<n,证明齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解

Answer 1

设一分块矩阵C 上块为A下块为B
Cx=0的解就是Ax=0与Bx=0的公共解
r(C)<=r(A)+r(B)<n
∴Cx=0存在非零解
即Ax=0与Bx=0存在非零公共解

Answer 2

设r（a）=r，rb=s，ax的基础解系有n-r，bx有 n-s，基础解系一共有2n-r-s大于n，所以一定线性相关，所以一定有某个特解可以有另一组基础解系表示