Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcosA-acosB=1/2c.(1)求证

(1)tanB=3tanA,(2)若tanC=2,求角A的值

Answer 1

1) ∵　a/sinA=b/sinB=c/sinC
　 a=c*sinA/sinC , b=c*sinB/sinC
将上式中a,b值代入到bcosA-acosB=1/2c,得：
∴ c*sinB*cosA/sinC - c*sinA*cosB/sinC = c*1/2
sinB*cosA - sinA*cosB=sinC /2 =sin(A+B) /2
sinB*cosA - sinA*cosB=1/2*(sinB*cosA + sinA*cosB)
sinB*cosA = 3sinA*cosB
∴ tanB=3tanA 等式两边同除(cosA*cosB)

2) ∵ tanC=2
tan(π-C)= -2
∴ tan(A+B)=-2
tan(A+B)= (tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)
= (tanA+3tanA)/(1-tanA*3*tanA)
=4tanA/ (1-3tan²A)=-2
∴ 3tan²A-2tanA-1=0
(3tanA+1)(tanA-1)=0
∴ tanA=1和-1/3, 其中-1/3值要舍去，因为tanA和tanB同号，两者不可能同为钝角。
∴ A=π/4

Answer 2

（1）acosB-bcosA=1/2*c
sinAcosB-sinBcosA=1/2*sinC
2sinAcosB-2sinBcosA=sin(A+B)
2sinAcosB-2sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA
所以sinAcosB=3sinBcosA
所以tanA=3tanB
（2）不会诶。。