Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D是AB中点，∠EDF=90°。 ①如图一，DE与BC的延长线交于点E，DF与CA

的延长线交于点F。求证：BE-AF=AC
②如图二，DE与BC交于点E，DF与AC交于点F，BE、AF、AC之间的关系（ ）
③在②的条件下，若AF=3，∠BED=75°，求线段EF的长

Answer 1

证明：(1)设ED与AC的交点为G,连接CD,
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠CAB=∠B=45°
∴∠FAD=180°-∠CAB=180°-45°=135°
∵点D是AB中点,∠ACB=90°
∴AD=CD,∠ACD=∠BCD=45°
∴∠ECD=180°-∠BCD=180°-45°=135°
∴∠FAD=∠ECD
∵∠EDF=∠ACB=90°,∠AGD=∠EGC
∴∠F=∠E
在△AFD和△CED中
AD=CD，∠FAD=∠ECD，∠F=∠E
∴△AFD≌△CED（AAS）
∴AF=CE
∵AC=BC
∴AC+AF=BC+CE=BE
即：BE-AF=AC
(2)连接EF,过F作FG⊥AB,交AB于G.过E作EH⊥AB交AB于H.
∵∠BED=75°,∠B=45°
∴∠EDB=180°-75°-45°=60°
∠EDB=180°-90°-60°=30°
∵AF=3
根据勾股定理AG=FG=(3√2)/2
根据tan∠EDB=FG/DG , (√3)/3= [(3√2)/2]/DG, DG=(3√6)/2
AB=2DG=3√6
AC=(√2/2)3√6=(9√2)/2
FC=AC-AF=(9√2)/2-3
∵EH=HB
∴tan∠EDB=EH/DH=HB/DH, √3=HB/DH, HB+DH= (3√6)/2
解得：HB=[(9√3)-9]/4
EB=√2[(9√3)-9]/4
CE=CB-EB=(9√2)/2-√2[(9√3)-9]/4=[(27√2)-9√6]/4
FE²=CF²+CE²=[(9√2)/2-3]²+{[(27√2)-9√6]/4}²=684-(108√2)-243√3
FE=√[684-(108√2)-243√3]≈10

Answer 2

45

追问

过程呢