Question

请帮忙解答一下数学题，谢谢！

Answer 1

解：
x^(x-y)=y^12 ①
y^(x-y)=x^3 ②
所以y^((x-y)²)=(x^3)^(x-y)=(x^(x-y))^3=y^36 ③
（1）y=0，则①为x^x=0，无实根。
（2）y=1，
则x^(x-1)=1， 1=x^3，
所以x=1
（3）y=-1，
则x^(x+1)=1， (-1)^(x+1)=x^3，
所以x=1
（4）y≠0,±1，则③知(x-y)²=36
(i)x-y=6
则x^6=y^12，y^6=x^3
从而x=y²，所以y²-y=6
所以x=9，y=3或x=4，y=-2
(ii)x-y=-6
则x^(-6)=y^12，y^(-6)=x^3
从而x=1/y²，所以1/y²-y=-6
所以y-1/y²-6=0
则y=1/y²+6﹥6
令g(x)=y-1/y²-6，x≥6
g'(x)=1+(1/2)/y³﹥0
所以g(x)严格递增，又g(6)=-1/36﹤0，g(7)=48/49>0
所以g(x)=0有且仅有一实根t满足t³-6t²-1=0
由一元三次方程求根公式得t=((17+√33)/2)^(1/3)+((17-√33)/2)^(1/3)+2≈6.027524663
所以x=1/t²，y=t，（其中t=((17+√33)/2)^(1/3)+((17-√33)/2)^(1/3)+2）
综上所述，原方程组的实解为
（x，y）=（1，1），（1，-1），（4，-2），（9，3），
（1/t²，t），（其中t=((17+√33)/2)^(1/3)+((17-√33)/2)^(1/3)+2）

追问

你好，非常感谢你的耐心解答，题中X，Y的指数都是X+Y,你第一步都带的X-Y,是否题看错了？另外：讨论Y=0或1，或-1的依据是什么？(x^3)^(x-y)=(x^(x-y))^3=y^36 ③这步怎么来的？请教，谢谢！

Answer 2

同取对数得(x+y)lnx=12lny,,,(x+y)lny=3lnx
两式相除就可以得到x=y^2。带入原式子得

y^2+y-6=0解得y=2，y=-3.所以对应x=4，x=9。

特别的，因为取对数后两边都含有对数，对数等于0时，等式也成立，即x=y=1
我们知道0没有0次幂，所以不可以等于0.而在不取对数时，让指数为0，即x+y=0，解得x=1，y=-1.
综上可得解y=2，x=4；y=-3，x=9；x=y=1；y=-1，x=1
望采纳

追问

你好，请问解答中省略号是怎么回事？ 两式相除就可以得到x=y^2。这一步怎么来的，应该有严格的证明哟，请问能帮我解答以上困惑吗？非常感谢！

追答

没有省略号啊，你的方程组里有两个方程的，没一个方程取对数得到两个式子，一个是(x+y)lnx=12lny，另一个是(x+y)lny=3lnx，我在他们中间打了几个逗号那是我的习惯，给你带来困惑，我表示很抱歉。两式相除就是{(x+y)lnx}/{(x+y)lny}=（12lny）/（3lnx）
于是2lny=lnx，因为2lny=ln（y^2）这样就可以得到x=y^2
不明白的再问，很乐意为你解答

追问

你好，非常感谢你的解答，请问：于是2lny=lnx，因为2lny=ln（y^2）这样就可以得到x=y^2
这句话我没懂，不是得到“(lnx)^2=4(lny)^2吗？

追答

你说的对，我是直接开方了，那就还有一个解，是一个三次的，我现在的能力不会

Answer 3

什么题

Answer 4

x=y=0

追问

你好，请问过程呢，非常感谢！

Answer 5

x+y=6
x=4
y=2