Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标

Answer 1

1、设抛物线方程为：y=ax平方+bx+c
带入3个坐标点，即可求出a、b、c
即y=(1/2)x平方+x-4
2、设m点坐标为（m,y）
又y=(1/2)m平方+m-4
由经过A、B2点可求得直线AB的方程为：y=-x-4
S△AMB=(1/2)*AB*D,(D为点M到直线AB的距离)
D=|m+(1/2)m平方+m-4+4|/根号2
所以S△AMB=|（m+2）平方-4|>=0
因为m为第三象限内的点，所以-4<m<0,
由数形结合可知，y=|（m+2）平方-4|在-4<m<0范围内是开口向下的抛物线
所以当且仅当m=-2的时候，S△AMB取最大值，为4
3、有2个点满足要求
由数形结合可看出，一个点在Y轴左侧，另一个点在Y轴右侧
也就是说y=-x上一点到抛物线上某点的距离等于OB的距离，即等于4
且此点坐标与抛物线上某点的横坐标是一样的
所以设Q点的坐标为（x,y1）,P点坐标则为（x,y2）
y1=-x,y2=(1/2)x平方+x-4
|PQ|=|y2-y1|=|(1/2)x平方+x-4-(-x)|=4
所以求得x=0（舍去）或-4(舍去)或根号20-2或-根号20-2
Q点坐标即：（根号20-2，2-根号20）或 （-根号20-2，根号20+2）
所以有2个点满足要求
希望对你有所帮助