Question

函数f(x)=2^-x-1(x≤0) f(x-1)(x＞0)若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的是实数根，则实数a的取值范围是

答案是（负无穷大，1）
我要很详细的过程，不要网上搜来的答案，因为我基础不好，不要乱回答！谢谢！

Answer 1

先观察一下f(x) 的解析式
f(x)=2^(-x)-1 (x<=0)
f(x)=f(x-1) (x>0)
因此
f(x)=2*2^(-x)-1 (0,1] (x的区间)
f(x)=4*2^(-x)-1 (1,2]
f(x)=8*2^(-x)-1 (2,3]
f(x)=16*2^(-x)-1 (3,4]
......
无论x位于哪个区间，设F(x)=f(x)-x-a都为单边递减函数，可以用导数来证明。

当 x<0时，F(x)最多只能有一个根
当x<1时，若有两个不相等的根，则(-∞,0]有一个根，需lim(x→-∞)F(x)*F(0)<0，则a>0
和(0,1]有一个根，需lim(x→0)F(x)*F(1)<0,则：-1<a<1
a的范围为(0,1)

当x<2时，若有两个不相等的根，则有几种情况,分别计算出a的范围
(1) (-∞,0]和(0,1]有根 则 a∈(0,1)
(2) (-∞,0] 和(1,2]有根 则 a∈(-2,0)
(3) (0,1]和(1,2]有根 则 a∈(-2,0)
上边三式是“或”的关系
则推导出：a的范围（-2，1）
同理依此类推：
x<3时，a为（-3，1）
x<4时，a为(-4,1)

则当x=∞时，a为(-∞,1)