如图所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是

飘渺的绿梦2
2012-12-15 · TA获得超过1.6万个赞
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方法一:
以A1为原点,A1C1、A1A所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系,使B落在第一挂限内。
利用赋值法,令正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长为2,则容易得出:
B1(√3,1,0)、A(0,0,2)、B(√3,1,2)、M(0,2,1)。
∴向量AB1=(√3,1,-2)、向量BM=(-√3,1,-1)。
∴向量AB1·向量BM=-3+1+2=0,∴AB1⊥BM,∴AB1和BM所成角的大小为90°。

方法二:
令AB1的中点为N。
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴AC=B1C1、∠ACM=∠B1C1M=90°,又CM=C1M,
∴△ACM≌△B1C1M,∴AM=B1M,而N∈AB1且AN=B1N,∴AB1⊥MN。

∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴AB=B1B,又N∈AB1且AN=B1N,∴AB1⊥BN。
由AB1⊥MN、AB1⊥BN、BN∩MN=N,∴AB1⊥平面BMN,∴AB1⊥BM,
∴AB1和BM所成角的大小为90°。
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