Question

已知数列{an}满足a1=2,a(n+1)=(2an-5)/(an-4)，求an。

Answer 1

解：
a(n+1)=(2an -5)/(an -4)
a(n+1) -1=(2an-5-an+4)/(an -4)=(an -1)/(an -4)
1/[a(n+1)-1]=(an -4)/(an -1)=(an -1-3)/(an -1)=1 -3/(an -1)
1/[a(n+1) -1] -1/4=-3/(an -1) +3/4
{1/[a(n+1) -1] -1/4}/[1/(an -1)+1/4]=3，为定值。
1/(a1 -1) -1/4=1/(2-1)-1/4=3/4
数列{1/(an -1) -1/4}是以3/4为首项，3为公比的等比数列。
1/(an -1) -1/4=(3/4)·3^(n-1)=3ⁿ/4
an=4/(3ⁿ+1) +1
数列{an}的通项公式为an=4/(3ⁿ+1) +1。

追问

1/[a(n+1) -1] -1/4=-3/(an -1) +3/4
{1/[a(n+1) -1] -1/4}/[1/(an -1)+1/4]=3，为定值。

这一步是不是有问题？

追答

嗯，你提醒我了，这一步有个负号忘掉了，重新写一下。
解：
a(n+1)=(2an -5)/(an -4)
a(n+1) -1=(2an-5-an+4)/(an -4)=(an -1)/(an -4)
1/[a(n+1)-1]=(an -4)/(an -1)=(an -1-3)/(an -1)=1 -3/(an -1)
1/[a(n+1) -1] -1/4=-3/(an -1) +3/4
{1/[a(n+1) -1] -1/4}/[1/(an -1)+1/4]=-3，为定值。
1/(a1 -1) -1/4=1/(2-1)-1/4=3/4
数列{1/(an -1) -1/4}是以3/4为首项，-3为公比的等比数列。
1/(an -1) -1/4=(3/4)·(-3)^(n-1)=-(-3)ⁿ/4
1/(an -1)=1/4 -(-3)ⁿ/4=[1-(-3)ⁿ]/4
an -1=4/[1-(-3)ⁿ]
an=4/[1-(-3)ⁿ] +1
数列{an}的通项公式为an=4/[1-(-3)ⁿ] +1。

Answer 2

题错了吧，a1=2带入关系式之后的a2=2，如此循环下去An=2.