Question

（2012•北京）已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+ 3 2 在x=0和x=2时的函数值相等．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（-3，m），求m和k的值；
（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．

Answer 1

（1）解：∵二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+32在x=0和x=2时的函数值相等，
∴代入得：0+0+32=4（t+1）+4（t+2）+32，
解得：t=-32，
∴y=（-32+1）x2+2（-32+2）x+32=-12x2+x+32，
∴二次函数的解析式是y=-12x2+x+32．

（2）解：把A（-3，m）代入y=-12x2+x+32得：m=-12×（-3）2-3+32=-6，
即A（-3，-6），
代入y=kx+6得：-6=-3k+6，
解得：k=4，
即m=-6，k=4．

（3）解：由题意可知，点B、C间的部分图象的解析式是y=-12x2+x+32=-12（x2-2x-3）=-12（x-3）（x+1），-1≤x≤3，
则抛物线平移后得出的图象G的解析式是y=-12（x-3+n）（x+1+n），-n-1≤x≤3-n，
此时直线平移后的解析式是y=4x+6+n，
如果平移后的直线与平移后的二次函数相切，
则方程4x+6+n=-12（x-3+n）（x+1+n）有两个相等的实数解，
即-12x2-（n+3）x-12n2-92=0有两个相等的实数解，
判别式△=[-（n+3）]2-4×（-12）×（-12n2-92）=6n=0，
即n=0，
∵与已知n＞0相矛盾，
∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，
∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，
则两个临界的交点为（-n-1，0），（3-n，0），
则0=4（-n-1）+6+n，
n=23，
0=4（3-n）+6+n，
n=6，
即n的取值范围是：23≤n≤6．

Answer 2

 

题目的顺序乱了，请原谅。