Question

设双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1的右焦点为F，P是第一象限内C上的点，Q为其左准线上的点。若OP垂直平分FQ，

设双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1的右焦点为F，P是第一象限内C上的点，Q为其左准线上的点。若OP垂直平分FQ，则b/a的取值范围是

Answer 1

右焦点F(c,0)，左准线与x轴的交点Bc^2=a^2+b^2,c>0
设P(m,n),m>0,n>0,m、n满足m^2/a^2-n^2/b^2=1.......1）
左准线方程x=-a^2/c,令Q(-a^2/c,p)
OP垂直平分FQ,O到F和Q的距离相等即c^2=a^4/c^2+p^2................................2)
设FQ中点A,则：XA=(1/2)[c-（a^2/c）]=(b^2)/2c,YA=p/2,
即A(b^2/2c,p/2)
OP所在直线方程：y=pcx/b^2
由2）
得：p=b√(c^2+a^2)/c
则有，y=√(c^2+a^2)x/b..........................3)
该直线必与双曲线相交，且交点的横坐标和纵坐标均大于零
将3)代入1）式：
x^2[(1/a^2 ) - (c^2+a^2/b^4)]-1=0
△>0
得
2*（a/b)^4 + (a/b)^2-1>0
a/b>0
(a/b)^2>1/2
(a/b)>根号2/2
解答完毕，请指教！！！

Answer 2

为毛我算出b/a=根号3