Question

数学分析 级数求和的题目 求和

Answer 1

令f(x) = ∑(2) x^n/(n^2-1)，现在要求f(1/2)
（∑后面的小括号表示求和从哪开始）
令g(x) = xf(x) = ∑(2) x^{n+1}/(n+1)(n-1)
求导得g'(x) = ∑(2) x^n/(n-1)
令h(x) = g'(x)/x = ∑(2) x^{n-1}/(n-1)
所以h'(x) = ∑(2) x^{n-2} = ∑(0) x^n = 1/(1-x)
注意到h(0) = 0，积分得
h(x) = -ln(1-x)
所以g'(x) = -xln(1-x)
又g(0) = 0，积分得（比较麻烦）
g(x) = -x^2ln(1-x)/2 + ln(1-x)/2 + x^2/4 + x/2
最后把f(1/2) = 2g(1/2)代入即可。
上面所有的幂级数收敛半径为1，所以在[0,1)上内闭一致收敛，所以运算都是合理的。