Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R),f(-2)=f(0)=0,f(x)最小值为-1

（1）求函数解析式
（2）设g(x)=f(-x)-af(x)+1,若g(x)在【-1,1】上是减函数，求实数a的范围

Answer 1

1、
f(-2)=f(0)，则对称轴为x=-1；

又f(x)的最小值为-1，所以，顶点为(-1,-1)
所以，可设f(x)=a(x+1)²-1
f(0)=a-1=0，得：a=1
所以，f(x)=(x+1)²-1=x²+2x

2、
f(-x)=x²-2x
所以，g(x)=x²-2x-a(x²+2x)+1=(1-a)x²-2(a+1)x+1
（1）a=1时，g(x)=-4x+1，满足题意；
（2）a<1时，开口向上，对称轴为x=(a+1)/(1-a)，要在【-1,1】上递减，则：
(a+1)/(1-a)≧1 因为a<1，所以，可直接同乘1-a；
a+1≧1-a
得：a≧0
所以，0≦a<1
（3）a>1时，开口向下，对称轴为x=(a+1)/(1-a)，要在【-1,1】上递减，则：
(a+1)/(1-a)≦-1 因为a>1，所以，同乘1-a，变号
a+1≧a-1
得：a∈R
所以，a>1
综上，实数a的范围是：a≧0

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