Question

在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.如图1,圆O是△ABC的内切圆,与三边分别切于点E,F,G。

（1）求证内切圆的半径r1=1（2）求tan∠OAG的值

Answer 1

（1）证明：连接OE、OF、OG，则OE⊥AC，OF⊥BC，OG⊥AB，且OE=OF=OG，所以OA、OB、OC均为角平分线，所以AE＝AG，BF＝BG，CE=CF。因为∠C=90°，OE=OF，所以四边形OECF为正方形，设AE=a,BG=b,则依题意有
r1+a=3
r1+b=4
a+b=5
解得r1=1，a=2,b=3,即内切圆的半径r1=1
（2）由（1）已得a=2，则tan∠OAG=r1/a=1/2

Answer 2

作三个角的角平分线，交于O点，再分别向三边作垂线，即为圆的半径，设为R，则由面积法有1/2
*（3+4+5)*R=1/2*3*4,则证明R=1
因为AE=AG,EC=CF,GB=BF，则AC+AB-BC=2AG，接下来不用我说了吧。