Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC.垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG．当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数．

Answer 1

∠∥⊥
证明：（1）连接OD，因为OB=OD，所以∠ABC=∠ODB，又因AB=AC，所以∠ABC=∠ACB,
所以∠ACB=∠ODB，所以OD∥AC，又因DF⊥AC，所以OD⊥DF。
所以DF为⊙O的切线。
（2）因为AB为圆O直径，所以∠AEB=90°,即BE⊥AC，且△ABC是等边三角形，即AB=BC=AC，∠ABC=60度
所以∠ABE=∠CBE=30°，且BG是AC的中垂线，即AG=CG，由AG∥BC知，∠CBE=∠AGE，
所以∠ABE =∠AGE,所以AB=AG
所以AB=BC=CG=AG，所以四边形ABCG是菱形，所以∠ABC=∠AGC=60度。

Answer 2

（1）、连接AD，OD
∵AB是直径
∴∠ADB=∠ADC=90°即AD⊥BC
∵AB=AC
∴AD是等腰三角形ABC的中线（三线合一）
即BD=DC
∵OA=OB
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC
∴∠ODF+∠AFD=180°
∵DF⊥AC，即∠AFD=90°
∴∠ODF=90°即OD⊥DF
∴DF为⊙O的切线；
（2）、∵AB是直径，△ABC是等边三角形
∴∠BEA=∠BEC=90°即BE(BG)⊥AC
∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∴BE是等边三角形ABC的中线，即AE=EC
∵EG=EG，∠AEG=∠CEG=90°
∴△AEG≌△CEG(SAS)
∴∠GAE=∠GCE，即∠GAC=∠GCA
∵AG∥BC
∴∠GAB+∠ABC=180°
即∠GAC+∠BAC+∠ABC=180°
∴∠GAC=60°
∴∠GAC=∠GCA=60°
∴△ACG是等边三角形
∴∠AGC=60°