Question

如图，Rt△ABC中，j∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F。

（1）求证：CE=CF；
（2）若∠B=30°，CD=3.
①求DE的长；
②求△CEF的长。

Answer 1

1、证明：
∵∠ACB＝90
∴∠BAC+∠B＝90
∵CD⊥AB
∴∠BAC+∠ACD＝90
∴∠B＝∠ACD
∵AF平分∠BAC
∴∠BAF＝∠CAF
∵∠CEF＝∠ACD+∠CAF，∠CFE＝∠B+∠BAF
∴∠CEF＝∠CFE
∴CE＝CF
2、解：设CE＝X
∵∠B＝30, CD⊥AB
∴∠BCD＝90-∠B＝90-30＝60
∵CE＝CF
∴等边△CEF
∴CF＝EF＝CE＝X
∵∠ACB＝90
∴∠BAC＝90-∠B＝60
∵AF平分∠BAC
∴∠CAF＝∠BAC＝60/2＝30
∴AC＝√3CF＝√3X
又∵CD⊥AB
∴CD＝AC×√3/2＝√3X×√3/2＝3X/2
∴3X/2＝3
X＝2
∴CE＝CF＝EF＝2
∴DE＝CD-CE＝3-2＝1
△CEF的周长＝CE+CF+EF＝6

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Answer 2

（1）由已知可知，△AED和△ACF都是Rt△，∠AED=∠CDF 因为是对角， AE平分∠CAD 所以∠CAF=∠FAD 所以，△AED和△AFC是相似三角形， 所以∠AFC=∠AED ，所以 △CDF是等腰三角形 其中 CE=CF
（2）由（1）可知，△CEF是正三角形，再推一推，AE=CE （△AEC是等边三角形） 所以 可知 CE=2DE 可知 CE=2 ED=1 所以 ED=1 △ECF=6

追问

/????第二题能不能说清楚点，我看不懂。。。。

追答

肿么没有点图形的概念呢，唉...给图画出来，把角的度数写出来，有等边三角形，等腰三角形，狠明显啊..

Answer 3

1)假设；CE=CF
则：∠CEF=∠CFE=π-∠FAC-∠FCA
=π-∠BAF-(π-∠ABC-2∠ABF) 注：∠BAF=∠CAF
=∠BAF+∠ABC
=π-∠AFB（此式成立）
得：CE=CF
2)①已知CD⊥AB，j∠ACB=Rt∠（90°），∠B=30°，CD=3
得：BC=CD/sin30°=6，CA=CBtan30°=2√3，——》CF=CE=2√3tan30°——》DE=1
②已知：①中得AC=2√3，AF平分∠CAB，——》∠DAE=30°
——》AE=ACsin30°cos30°
（或AE=DE/sin30°）
=2
由AF=AC/cos30°=4——》由上述得：△CEF的长=CE+CF+EF
=6

Answer 4

一∵∠CAF=∠BAF
∠ADC=∠ACF=90º
∴∠AED=∠CFA
∵∠AED=∠CEF
∴∠CEF=∠CFE
∴CE=CF
二①CD=3
BC=6
AC=2√3
CF=2
CE=CF=2
DE=CD-CE=1
②∠CAF=30º
∠CFA=60º
CE=CF
三角形CEF是等边三角形
周长=3×2=6

Answer 5

解:⑴∵ABC为直角三角形。
∴∠ACB=90°
∵AF平分∠CAB.
∴∠CAF=∠FAB
∴∠CAF ∠AFC=90°
又∵CD⊥AB
∴∠CDA=90°,∠CEF=∠AED(对顶角相等)
∴∠EAD ∠AED=∠EAD ∠CFE
∴∠CFE=∠CEF
∴CF=CE(等边对等角)
⑴①