Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3，4).以A为顶点的抛物线

y=ax^2+bx+c过点C。动点P从点A出发，沿线段CD向点D运动。点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒。过点P作PE⊥AB交AC于点E。
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P,Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值。

Answer 1

解：（1）A（1，4）
由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4
∵抛物线过点C（3，0），
∴0=a（3-1）2+4，
解得，a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3

（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵点P（1，4-t）．…（3分）
∴将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+t\2
∴点G的横坐标为1+t\2，，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t²\4
∴GE=（4-t²\4）-（4-t）=t-t²\4
又点A到GE的距离为t\2，C到GE的距离为2-t\2
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=1\2•EG•t\2+1\2•EG（2-t\2）=1\2•2（t-t²\4）=-1\4（t-2）2+1

当t=2时，S△ACG的最大值为1
（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t，
根据△APE∽△ABC，知
AP\AB=AE\AC即t\4=2根号5-t\2根号5，解得，t=20-8根号5
第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=1\2t
，EM=2-1\2t，MQ=4-2t．
则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2-1\2t)2+（4-2t）2=t2
解得，t1=20\13，t2=4（不合题意，舍去）．
综上所述，t=20-8根号5或t=20\13

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