Question

数列{an}的前n项和记为Sn，Sn=n²+4n

（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=（an+5）*2的n-1次方，求数列{bn}的前n项和Tn的值

Answer 1

解：
(1)
n=1时，a1=S1=1+4=5
n≥2时，Sn=n²+4n S(n-1)=(n-1)²+4(n-1)
an=Sn-S(n-1)=n²+4n-(n-1)²-4(n-1)=2n+3
n=1时，a1=2+3=5，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2n+3。
(2)
bn=(an+5)×2^(n-1)=(2n+3+5)×2^(n-1)=(2n+8)×2^(n-1)=(n+4)×2ⁿ=n×2ⁿ+2^(n+2)
Tn=b1+b2+...+bn
=(1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ)+[2³+2⁴+...+2^(n+2)]
令Cn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
则2Cn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Cn-2Cn=-Cn=2+2²+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
Cn=n×2^(n+1) -(2+2²+...+2ⁿ)
Tn=Cn+[2³+2⁴+...+2^(n+2)]
=n×2^(n+1) -(2+2²+...+2ⁿ)+[2³+2⁴+...+2^(n+2)]
=n×2^(n+1) -(2+2²)+2^(n+1)+2^(n+2)
=(n+3)×2^(n+1) -6

Answer 2

数列{an}的前n项和记为Sn，Sn=n²+4n
An=Sn-S（n-1）=n²+4n-（n-1）²+4（n-1）
=2n+3

代入An
Bn=（4n+16）ˆ（n-1）
这个数列求和，高中应该求不出来吧