Question

点P在椭圆X的平方/16+Y的平方/9=1上且到直线X/4+Y/3的距离为6/5则点P的个数为

Answer 1

这一题的基本思路是：求出椭圆上的点到直线x/4+y/3=1的距离d最大是多少。因为从题目已经知道三角形PAB的底边是|AB|=5(在直角三角形OAB中用勾股定理，A(0，3），B(4，0)),而面积等于12，那么只要判断最大距离d的大小：
如果d<24/5,则没有三角形使得面积等于12；如果d=24/5,则有一个点满足题意；如果d>24/5则有两个点满足题意。
现在我们找这样的点M，满足这个点在椭圆上，且相对于椭圆上其他点到直线x/4+y/3=1距离最大。很显然，这样的点M肯定在一条与直线x/4+y/3=1平行且与椭圆相切的直线上。
如果你知道隐函数求导的方法，这道题可以比较快的做出来，否则就设一条与x/4+y/3=1平行的直线方程x/4+y/3=k,联立x/4+y/3=k和x^2/16+y^2/9=1，用判别式=0，求出切点。
下面的方法是用隐函数求导的方法(如果不会，建议学习，比较方便):
对y^2/9=1-x^2/16求导，为2yy'/9=x/8,得到y'=-9x/16y,又因为直线x/4+y/3=1的斜率为-3/4,
令y'=-9x/16y=-3/4求出x/y=4/3，将x=(4/3)y代入x^2/16+y^2/9=1，求出y=3/(根号2)
又x/y=2/3，得到x=4/(根号2),所以M(4/(根号2),3/(根号2))
再用点到直线距离公式，求出M到直线x/4+y/3=1距离d=(根号（2）+1）*12/5>24/5，所以有两个点P符合
补充：设AX+BY+C=0,点为（x,y)点到直线距离公式：d=|Ax+By+C|/（根号（A^2+B^2））

Answer 2

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