Question

证明:sinπx≤π^2/2×x(1-x),其中x∈[0,1]

Answer 1

这个证明简单.
当x=0和1时上述不等式等号成立.
当x∈(0,1)时。左右式子为正。故考虑：
sin(πx)/(πx(π-πx))，不妨令πx=t.t∈(0.π)
有sin(t)/(t(π-t)).
因sint,和1/(t(π-t))同时在(0,π/2)上递增，同时在(π/2，π)上递减，
故原函数在x=π/2处取最大值。有：
sin(t)/(t(π-t))<=sin(π/2)/(π^2/4)=1/2。

还原后就有了：sinπx≤π^2/2×x(1-x)。证明结束。

Answer 2

原题可化简为：sin(πx)/(πx(π-πx))≤1/2;
即sint/(t(π-t))≤1/2；其中x∈[0,π]；
令f(t)=sint, g(t) =t(π-t)，只需在(0,π)上证明即可；
f(t)/g(t)=(f(t)-f(0))/(g(t)-g(0))=f'(t1)/g'(t1)=cos(t1)/2(π/2-t1)；t1∈[0,t]；
cos(t1)/2(π/2-t1)=(cos(t1)-cos(π/2))/(2(π/2-t1)-0)=sint2/2；t2∈[t1,π/2)；
显然sint2/2≤1/2