Question

如图,直线y=kx-1与x轴,y轴分别交与B,C两点,OB=2分之1OC.(1)求B点坐标和k值;

(2)若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点，当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
探索：
①当A点运动到什么位置时，△AOB的面积是4分之1
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意 OB：BC=1/2 在直角三角形OBC中可求得 角OBC=60度
k=tan角OBC=tan60=根号3 所以 直线y=kx-1=(根号3)x-1
令y=0 即得B点的横坐标 1/k =根号3/3 所以B=（根号3/3,0）
（2）对于三角形AOB 它的底边为OB =根号3/3 ，它的高就是A的纵坐标 即为 y =(根号3)x-1
所以 S=（1/2）（根号3/3）y =(3x-根号3)/6
(3) 由（2）可知 S=1/4 即 (3x-根号3)/6=1/4 解得x=(3+2根号3)/6 A在直线上 把x=(3+2根号3)/6代入 直线 求得A的纵坐标 为y=根号3/2 即A=（(3+2根号3)/6，根号3/2）
在x轴上存在两点这样的P设为（x,0）
第一点是 使OP=OA 这时 有x^2=((3+2根号3)/6 )^2+(根号3/2)^2=(4+根号3)/3 P的坐标为（根号（(4+根号3)/3）,0）
第二点是 使AP=OA 这时 由对称性 有P的横坐标为A的横坐标的两倍即为(3+2根号3)/3 P的坐标就为（(3+2根号3)/3,0）