Question

在三角形ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列,求B的范围

和y=（sinB*cosB）/（1+sinB+cosB）的范围

Answer 1

a,b,c成等比数列
b²=ac
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
因为a²+c²>=2ac,b²=ac
所以cosB>=(2ac-ac)/2ac=1/2
所以0<B<=60度
(2)
y=sinBcosB/(1+sinB+cosB)
sinB＋cosB＝t
tt－1＝2sinBcosB
2sinBcosB/2(1+sinB+cosB)
＝(tt-1)/2(1+t)
=(t-1)/2
=[sinB＋cosB-1]/2

0<B<60度
1<sinB+cosB<=√2
0<sinB+cosB-1<=√2-1
0<2sinBcosB/2(1+sinB+cosB)<=(√2-1)/2

追问

（1）为什么a²+c²>=2ac,b²=ac？

追答

这是公式
(a-c)^2>=0

即有a^2+c^2>=2ac

Answer 2

利用余弦定理及均值不等式得(0,60),再换元法可得所求范围。