Question

在三角形ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且满足（2b-c)cosA-acosC=0

(1)求角A的大小
（2）若a=4，三角形ABC的面积为S，求S的最大值

Answer 1

在三角形ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且满足（2b-c)cosA-acosC=0
（2b-c)cosA-acosC=0
（1）正弦定理
2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0
2sinBcosA-sin(C+A)=0 sinB=sin(C+A)
所以 2cosA-1=0
cosA=1/2 A=60°
（2）
余弦定理 cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc a=4
b^2+c^2-4=bc
b^2+c^2>=2bc 2bc-4<=bc
所以bc<=4
S=1/2bc*sinA=根号3/4*bc<=根号3
S的最大值=根号3

Answer 2

(1)
(2b-c）cosA-acosC=0
正弦定理,记 b/sinB=a/sinA=c/sinC=m,得
2sinBmcosA-sinCmcosA-sinAmcosC=0
∴2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0

即2sinBcosA-(sinCcosA+sinAcosC)=0
∴2sinBcosA-sin(A+C)=0,而A+C=π-B
∴2sinBcosA-sinB=0 即 sinB(2cosA-1)=0
∵A、B∈(0，π)，sinB≠0
∴cosA=1/2,
∴A=60º

(2)
从(1)得sinA=√3/2
S=1/2bcsinA=√3/4bc
a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2bc*1/2=b²+c²-bc=4²=16

b²+c²=bc+16
b²+c²≥2bc

bc+16≥2bc
bc≤16
S最大值为 √3/4*16=4√3

Answer 3

（2b-c)cosA-acosC=0
（2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0
2sinBcosA-sin(A+C)=0
sinB(2cosA-1)=0
所以2cosA-1=0
cosA=1／2
所以A=π／3
cosA=﹙b²+c²-a²﹚／﹙2bc﹚
=﹙b²+c²-16﹚／﹙2bc﹚=1／2
∴b²+c²-16=bc
bc≥2bc-16
∴bc≤16
S=bcsinA／2
≤4√3

Answer 4

4