Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于__________

Answer 1

M到焦点的距离d=a^2/c-c=b^2/c
设P(c,y) (y>0)
y=b^2/a
|PQ|=2b^2/a
若△PQM为正三角形，
d=根号3y
b^2/c=根号3*b^2/a
a=根号3*c
e=c/a=根号3/3

Answer 2

解：由已知得 FQ=b^2/a，MF=(a^2/c)-c，
因为椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，
椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，
所以tan30°=根号3\3=FQ/MF=(b^2/a)/[(a^2/c)-c]=c/a=e
所以e=根号3/3，
故答案为：根号3/3．
(本题重在先求出FQ 的长，直角三角形FMQ中，由边角关系得 tan30°=FQ/MF，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值)