Question

设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,且满足a2=b(b+c)。求证:∠A=2∠B

Answer 1

证明：由余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bccosA

∴b(b+c)=b^2+c^2-2bccosA

∴(1+2cosA)bc=c^2
∴(1+2cosA)b=c
根据正弦定理：(1+2cosA)sinB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
∴sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)
∴B=A-B
∴A=2B
望采纳！有问题请追问！

追问

我们还没学三角函数，肿么办？

追答

不好意思，我没注意到你是初中生哈，下面是纯几何证明方法：

延长CA至D，使得AD=AB，则DC=AD+AC=AB+AC=c+b
∵a^2=b(b+c)
∴BC^2=CA*CD
∴CA/CB=CB/CD
而∠C为△ABC与△CBD的公共角
∴△ABC∽△BDC
∴∠D=∠CBA
而AB=AD，∴∠CAB=2∠D
∴∠CAB=2∠CBA
证毕！

Answer 2

过A点做AD交BC于点D，使得∠CAD=∠B
则△ACD∽△BCA，由对应边的比例关系有 DC/AC=AC/BC=AD/BA
设BD=x，AD=y，得到
(a－x)/b=b/a=y/c
由(a－x)/b=b/a，可得 a²=b²+ax
已知a²=b(b+c)=b²+bc
所以有 ax=bc，x=bc/a
再由b/a=y/c，可得 y=bc/a
因此 x=y ，BD=AD，△DAB是等腰三角形
故有∠BAD=∠B
∴∠A=∠BAD+∠CAD=2∠B
希望能帮助你~