Question

急求一道高一数学题~

已知定义在R上的奇函数F(X).满足F(X+2)=F(X),且当X属于（0，1）时，F(X)=X^2,
（1）求F(X)在[-1，1]上的解析式
（2）写出F(X)的单调区间和值域
（3）求F(X)在区间[0，10]上的所有零点的和

Answer 1

(1)
∵F(x)为奇函数 且 当x∈(0，1)时，F(x)=x²
∴当x∈(-1，0)时 F(x)= -x²
∵F(x)为奇函数
∴F(0)=0 F(-1)+F(1)=0
∵F(x+2)=F(x)
∴F(1)=F(-1)
∴F(-1)=F(0)=F(1)=0
∴F(x)在[-1，1]的解析式为
0 x=-1
F(x)= -x² x∈(-1，0]
x² x∈(0，1)
0 x=1

(2)
∵F(x+2)=F(x)
∴F(x)是周期函数，最小正周期为2
考虑其中一个周期 x∈[-1,1]
∵ F(x)= -x² x∈(-1，0]
x² x∈(0，1)
∴ F'(x)= -2x x∈(-1，0]

2x x∈(0，1)
∴F(x)在(-1,1)上单调递增，值域为(-1,1)
∵F(-1)=F(1)=0
∴F(x)在一个周期 [-1,1]内，在(-1,1)上单调递增，值域为(-1,1)
∵F(x)以2为最小正周期
∴ F(x)在(2k-1,2k+!)上单调递增 k∈Z
值域为(-1,1)

(3)
∵当x∈[-1,1]时
0 x=-1
F(x)= -x² x∈(-1，0]
x² x∈(0，1)
0 x=1
∴F(x)在[-1,1]上的零点只有 x=-1,0,1
∵F(x+2)=F(x)
∴F(x)的零点为 x=k k∈Z
∴F(x)的在区间[0，10]零点为 x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
∴和为 55

Answer 2

(1) 函数周期 T=2,所以解析式为F(X)=X²

(2) 因为是周期函数,所以在(-1+2k,0+2k)单调递减,(0+2k,-1+2k)单调递增 k∈Z
值域是(0,1)

(3) 有6个零点,分别是0,2,4,6,8,10,加起来=30

Answer 3

（1） 0 x=-1
F(x)= -x² x∈(-1，0]
x² x∈(0，1)
0 x=1