Question

f(x)是定义在(0,+无穷)上的单调增函数，且对任意的x,y属于(0,+无穷)恒有分f(xy)=f(x)+f(y)成立

(1)求f(1)的值 (2)证明：当x＞0时，f(1/x)=-f(x) (3)判定函数g(t)=t+4/t+2当t≥1时的单调性(写出论证过程)，并求对一切实数t≥1，恒有f[t+4/(t+2)]≥f(m)成立的实数m的取值范围

Answer 1

（1）令y=1，则f(x*1)=f(x)+f(1)，即f(1)=0

（2）令y=1/x
则f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)
即f(1)=f(x)+f(1/x)
而f(1)=0
则f(x)+f(1/x)=0
即f(1/x)=-f(x)

（3）先讨论g(t)=t+4/(t+2)（t≥1）的单调性
令1≤t1<t2
则g(t2)-g(t1)=[t2+4/(t2+2)]-[t1+4/(t1+2)]
=(t2-t1)[1-4/(t2+2)(t1+2)]
因t2+2>3，t1+2≥3
则有(t2+2)(t1+2)>9
即有1-4/(t2+2)(t1+2)>0
而t2-t1>0
所以g(t2)-g(t1)>0，表明g(t)为增函数

再确定g(t)的最小值
因g(t)在区间t≥1上为增函数
显然gmin=g(1)=7/3

最后确定m的取值范围
因f(x)定义域为x>0
显然m>0
又因f(x)在区间x>0上为增函数
则由f[t+4/(t+2)]≥f(m)有（注意到g(t)=t+4/(t+2)>0）
g(t)=t+4/(t+2)≥m
而g(t)≥gmin
所以要保证f[t+4/(t+2)]≥f(m)恒成立
必有g(t)≥gmin≥m，即m≤7/3
综上知m取值范围为0<m≤7/3

Answer 2

f(x)是定义在(0,+无穷)上的单调增函数，且对任意的x,y属于(0,+无穷)恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立 (1)求f(1)的值 (2)证明：当x＞0时，f(1/x)=-f(x) (3)判定函数g(t)=t+4/t+2当t≥1时的单调性(写出论证过程)，并求对一切实数t≥1，恒有f[t+4/(t+2)]≥f(m)成立的实数m的取值范围
（1）解析：∵f(x)是定义在(0,+无穷)上的单调增函数，且对任意的x,y属于(0,+无穷)恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立
令x=y=1
则，f(1*1)=f(1)+f(1)==>f(1)=0
(2)证明：∵x＞0时，f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)
令y=1/x
∴f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=f(1)=0
∴f(1/x)=-f(x)成立
（3）请你写清分子，分母，分别用括号括起，函数g(t)=t+4/t+2，f[t+4/(t+2)]