Question

如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为

如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m，用含m代数式表示线段pf长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形.
主要是2问！一问中A(-1.0) B(3.0) C(0.3)

Answer 1

解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
抛物线的对称轴是：x=1．
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得： 3k+b=0 b=3
解得：k=-1，b=3．
所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x2+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）
当x=m时，y=-m2+2m+3，
∴F（m，-m2+2m+3）
∴线段DE=4-2=2，
线段PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S△BPF+S△CPF
即S=1 2 PF•BM+1 2 PF•OM=1 2 PF•（BM+OM）=1 2 PF•OB．
∴S=1 2 ×3（-m2+3m）=-3 2 m2+9 2 m（0≤m≤3）．

Answer 2

抛物线y=x²-2x-3=(x-1)^2-4
令y=x²-2x-3=(x-3)(x+1)=0得
A(-1,0) B(3,0）C(2,-3)

使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形
分析A、F2点关系：要么四边形邻点，要么对点
(1)若为邻点 必有AF//GC 因为AF为X轴 所以GC//x轴 再加上G为抛物线上的点 所以容易得G(0，-3)所以CG=2所以AF=2所以F=(1，0)或(-3，0)
(2)若为对点 那么G C2点必关于AF对称 所以G点纵坐标为3 则G为(1+√7，3)或(1-√7，3)
AG=√[(1+√7+1)²+3²]=√(2+√7)²+9]或√[(1-√7+1)²+3²]=√[(2-√7)²+9]
则FC=√(2+√7)²+9]或√[(2-√7)²+9]
因为C(2,-3)F横坐标为0解得F(√7,0)或(-√7,0)