Question

t设a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B，∠C的对边，面积为S,P=1/2(a+b+c),则内切圆半径为r,求证：（1）r=S/P

(2)Rt△ABC中，∠C=90°，则r=1/2（a+b-c)

Answer 1

(1)
设O为△ABC的内切圆的圆心，依次连接OA、OB、OC
则，S△ABC＝S△OBC＋S△OAB＋S△OAC
即，S＝ar/2 + br/2 + cr/2＝(a+b+c)r/2
又，P＝(a+b+c)/2
所以，S＝Pr
即，r＝S/P

(2)
∠C=90°时，a²+b²=c²
由等面积易得：ab=(a+b+c)r
即：
(a+b)²-a²-b²=2(a+b+c)r
(a+b)²-c²=2(a+b+c)r
(a+b+c)(a+b-c)=2(a+b+c)r
所以，
r=(a+b-c)/2

Answer 2

1.
分别连接内切圆圆心与三个角点，形成三个三角形，三个三角形的底边分别为三边，高都是r。
S=ar/2 +br/2 +cr/2=[(a+b+c)/2]r=Pr
r=S/P
2.
S=ab/2 =ar/2 +br/2 +cr/2=[(a+b+c)/2]r
r=ab/(a+b+c)

追问

要证的是r=1/2（a+b-c)