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Let z = tan(x/2) and dx = 2dz/[1 + z²]
∫ 1/[1 + 2sinx] dx
= ∫ 1/[1 + 4z/(1 + z²)] * 2dz/[1 + z²]
= ∫ [1 + z²]/[1 + z² + 4z] * 2dz/[1 + z²]
= 2∫ dz/[(z + 2)² - 3]
= 2∫ dα/(α² - 3)，α = z + 2
= [2/(2√3)]∫ [(α + √3) - (α - √3)]/[(α - √3)(α + √3)] dα
= [1/√3]∫ [1/(α - √3) - 1/(α + √3)] dα
= [1/√3]ln| (α - √3)/(α + √3) | + C
= [1/√3]ln| [z + 2 - √3]/[z + 2 + √3] | + C
= [1/√3]ln| [tan(x/2) + 2 - √3]/[tan(x/2) + 2 + √3] | + C
∫ 1/[1 + 2sinx] dx
= ∫ 1/[1 + 4z/(1 + z²)] * 2dz/[1 + z²]
= ∫ [1 + z²]/[1 + z² + 4z] * 2dz/[1 + z²]
= 2∫ dz/[(z + 2)² - 3]
= 2∫ dα/(α² - 3)，α = z + 2
= [2/(2√3)]∫ [(α + √3) - (α - √3)]/[(α - √3)(α + √3)] dα
= [1/√3]∫ [1/(α - √3) - 1/(α + √3)] dα
= [1/√3]ln| (α - √3)/(α + √3) | + C
= [1/√3]ln| [z + 2 - √3]/[z + 2 + √3] | + C
= [1/√3]ln| [tan(x/2) + 2 - √3]/[tan(x/2) + 2 + √3] | + C
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