Question

求助：证明对任意素数p，存在正整数前n项和Sn及前m项和Sm(n,m为正整数)，p=Sn/Sm

证明对任意素数p，存在正整数前n项和Sn及前m项和Sm(n,m为正整数)，p=Sn/Sm。

如:p=2,n=3,m=2,2=(1+2+3)/(1+2);p=5,n=5,m=2,5=(1+2+3+4+5)/(1+2)。

Answer 1

S(x) = x(x+1)/2
p = n(n+1) / m(m+1)
n^2 + n = p m(m+1)
(2n+1)^2 = p (2m+1)^2 - p+1
设u = 2n+1
v = 2m+1
那么
u^2 - p v^2 = 1-p
显然这个方程存在解u=1,v=0
从而根据佩尔方程的理论可知，对于任意素数p，方程存在无穷多组整数解。