Question

极限问题 选d 为什么

Answer 1

A、由于lim[h→0] f(h)/h存在，且分母极限为0，因此，分子极限必为0，则lim[h→0] f(h)=0
再由f(x)在x=0处连续，得f(0)=lim[h→0] f(h)=0
A正确

B、由于f(x)在x=0连续，因此极限存在，则lim[h→0] f(h)=lim[h→0] f(-h)
下面推导与A相同
B正确

C、由A知，f(0)=0，由导数定义
f '(0)=lim[h→0] [f(h)-f(0)]/h=lim[h→0] f(h)/h 存在
C正确

D、不正确
lim[h→0] [f(h)-f(-h)]/h
=lim[h→0] [f(h)-f(0)+f(0)-f(-h)]/h
由于不知道导数是否存在，上式无法转化为导数定义，因为不能拆成两个极限。
D错误

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追问

D不太明白。。=lim[h→0] [f(h)-f(0)+f(0)-f(-h)]/h 写这个的意思是？
还有 若D改成lim[h→0] [f(h)+f(-h)]/h存在 D就对了呢？

追答

1、如果已知导数存在：
lim[h→0] [f(h)-f(0)+f(0)-f(-h)]/h
=lim[h→0] [f(h)-f(0)]/h + lim[h→0] [f(-h)-f(0)]/(-h)
就可以转化为两个导数之和，但现在导数存在未知，因此推不出来。

2、若D改为lim[h→0] [f(h)+f(-h)]/h，仍无法推出导数存在，只能推出f(0)=0