Question

如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF

如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG=4，求BE的长．

Answer 1

（1）∵△DCF由△BCE旋转而得

∴∠CDF=∠CBE
∵BE平分∠DBC
∴∠CBE=∠DBG
∴∠CDF=∠DBG
∵△BDG与△DEG有公共∠DGE，且∠CDF=∠DBG(已证）
∴△BDG∽△DEG
（2）∵△BDG∽△DEG

∴BG：DG=DG：EG 即DG的平方=BG×EG=4
∴DG=2
显然DG等于DF的一半（可以自己证明△DBF是等腰三角形）
而DF=BE,∴DG等于BE的一半
∴BE=4

Answer 2

解1证明∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置
∴△BCE≌△DCF
∴∠FDC=∠EBC
∵BE平分∠DBC
 ∴∠DBE=∠EBC
∴∠FDC=∠EBE
∵∠DGE=∠DGE
∴△BDG∽△DEG 
2解∵△BCE≌△DCF
∴∠F=∠BEC∠EBC=∠FDC
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DCB=90°∠DBC=∠BDC=45°
∵BE平分∠DBC
∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC
∴∠BDF=45°+22.5°=67.5° ∠F=90°22.5°=67.5°=∠BDF
∴BD=BF
∵△BCE≌△DCF
∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG
∴∠DGB=180°22.5°67.5°=90°
即BG⊥DF
∵BD=BF
∴DF=2DG
∵△BDG∽△DEGBG×EG=4
∴DG/EG=BG/DG
∴BG×EG=DG×DG=4∴DG=2
∴BE=DF=2DG=4

Answer 3

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