Question

已知,如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E,F 若AE=a,EF=b,BF=c,

已知，如图，AB是圆O的直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F 。若AE=a，EF=b，BF=c，求证tan角EAC和tan角EAD是方程ax-bx+c=0的两个根

Answer 1

图中G是BF与圆的交点，连接AG
因为AB是直径，所以角AGB=90度。
所以 AEFG是矩形，AG=EF=b, AE=GF=a
易证 EC=DF,
设 EC=DF=d

连接AC,AD,BD
则
tan角EAC=EC/AE=d/a
tan角EAD=ED/AE=(b-d)/a

又因为 角ADB=90度
所以 角ADE+角BDF=90度
所以 角BDF=角EAD
而 tan角BDF=BF/DF=c/d
所以 tan角EAD=c/d

于是
tan角EAC+tan角EAD=d/a+(b-d)/a=b/a
tan角EAC×tan角EAD=d/a×c/d=c/a

故 tan角EAC和tan角EAD是 ax^2-bx+c=0 的两个根。

Answer 2

过O作OH垂直EF于H，HC=HD，由AE⊥CD,BF⊥CD，则AE平行OH平行BF，且OA=OB，所以HE=HF
所以EC=DF,CF=DE.
连接AC和BC，可证Rt三角形AEC与RT三角形CFB相似，则AE：CF=EC：BF，
又因AE=a，EF=b，BF=c，则EC*CF=ac（1），又因EC+CF=b （2），
所以由（1）（2）得EC=[b+√(b^2-4ac)]/2,CF=DE=[b-√(b^2-4ac)]/2
由方程ax-bx+c=0知x1=[b+√(b^2-4ac)]/2a，x2=[b-√(b^2-4ac)]/2a。
在Rt三角形AEC中，tan角EAC=EC/AE=[b+√(b^2-4ac)]/2a=x1；
在RT三角形CFB中，tan角EAD=ED/AE=[b-√(b^2-4ac)]/2a=x2.
所以tan角EAC和tan角EAD是方程ax-bx+c=0的两个根。