Question

已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在X轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，向量OA+

已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在X轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，向量OA+OB与向量a=(3,-1)共线。
1、椭圆离心率

2、设M为椭圆上任意一点，且向量OM＝λOA+μOB，（λ， μ∈R，注意OA，OB均为向量），证明：λ^2+μ^2为定值。

Answer 1

行向量与共线向量；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题． 考点：

（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率

（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ 2 +μ 2 的值．

分析：

解：（1）设椭圆方程为 x 2

a 2 + y 2

b 2 =1(a＞b＞0)，F(c，0)

则直线AB的方程为y=x-c，代入 x 2

a 2 + y 2

b 2 =1，

化简得（a 2 +b 2 ）x 2 -2a 2 cx+a 2 c 2 -a 2 b 2 =0． 令A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），

则x 1 +x 2 = 2a 2 c a 2 +b 2 ，x 1 x 2 = a 2 c 2 -a 2 b 2

a 2 +b 2 ．

∵ OA + OB =(x 1 +x 2 ，y 1 +y 2 )， a =(3，-1)， OA + OB 与 a 共线， ∴3（y 1 +y 2 ）+（x 1 +x 2 ）=0，又y 1 =x 1 -c，y 2 =x 2 -c，

∴3（x 1 +x 2 -2c）+（x 1 +x 2 ）=0，

∴x 1 +x 2 = 3 2 c．

即 2a 2 c a 2 +b 2 = 3c 2 ，

所以a 2 =3b 2 ．

∴c= a 2 -b 2 = 6 a 3 ，

故离心率e= c a = 6 3 ．

（II）证明：由（1）知a 2 =3b 2 ，

所以椭圆 x 2

a 2 + y 2

b 2 =1(a＞b＞0)，F(c，0)可化为x 2 +3y 2 =3b 2 ．

设M（x，y）， 由已知得（x，y）=λ（x 1 ，y 1 ）+μ（x 2 ，y 2 ），

∴ x=λx 1 +μx 2 y=λy 1 +μy 2 ∵M（x，y）在椭圆上，

∴（λx 1 +μx 2 ） 2 +3（λy 1 +μy 2 ） 2 =3b 2 ．

即λ 2 （x 1 2 +3y 1 2 ）+μ 2 （x 2 2 +3y 2 2 ）+2λμ（x 1 x 2 +3y 1 y 2 ）=3b 2 ．①

由（1）知a 2 = 3 2 c 2 ，b 2 = 1 2 c 2 ．

∴x 1 +x 2 = 3c 2 ，x 1 x 2 = a 2 c 2 -a 2 b 2

a 2 +b 2 = 3 8 c 2

∴x 1 x 2 +3y 1 y 2 =x 1 x 2 +3（x 1 -c）（x 2 -c）=4x 1 x 2 -3（x 1 +x 2 ）c+3c 2 = 3 2 c 2 -9 2 c 2 +3c 2 =0．

又x 1 2 +3y 1 2 =3b 2 ，x 2 2 +3y 2 2 =3b 2 ，

代入①得λ 2 +μ 2 =1．

故λ 2 +μ 2 为定值，定值为1．

解答：

考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理． 是高考常见题型且是解答题．

Answer 2

利用代数方法解决几何问题，要求计算准确，剩下的就是计算了，套用各种计算公式，分贝有：设直线方程，联立方程组，消元，讨论判别式，韦达定理，然后代数转化所证明的问题，直到得到最终的答案。

Answer 3

e=根号6／3

Answer 4

我不会
任性
呵呵呵呵呵

Answer 5

懒得打了，2005年安徽理科数学倒数第二道题。自己百度