Question

如图,圆O的弦AD平行BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC平行DE,交BD于H,DO及其延

如图，圆O的弦AD平行BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC平行DE，交BD于H，DO及其延长线分别交AC,BD于G,F。
求证：1.FC=CE
2.DF垂直平分AC
3若AD为5，AC为8求圆的半径

Answer 1

证明:连接DC
AD//BC,AC//DE
四边形ACED是平行四边形
<DEC=<DAC,AD=EC,AC=DE
DE是圆O切线,弦切角<CDE
<DAC=<CDE(弦切角等于同弧上的圆周角),因<DEC=<DAC
<CDE=<DEC,
DC=EC
<CDE+<CDF=90,<DEC+<DFC=90度
CDE+<CDF=<DEC+<DFC,因<CDE=<DEC
<CDF=<DFC
DC=FC,因DC=EC
.FC=CE
(2)AC//DE,<ODE=90,C是EF边中点
CG是三角形DEF中位线
CG=1/2DE=1/2AC=AH且,<CGF=<ODE=90度
DF垂直平分AC
(3)连接OA,设半径为R在RT三角形ADG中有
DG^2=AD^2-AG^2=AD^2-1/4AC^2=25-16=9
DG=3
在RT三角形AGO中有
OA^2=AG^2+OG^2,
R^2=1/4AC^2+(R-DG)^2
R^2=1/4*8^2+(R-3)^2
R=25/6

Answer 2

1.证明:DE为切线,则DO垂直DE.
∵BE∥AD,AC∥DE.

∴四边形ADEC为平行四边形,AD=CE;DF⊥AC.

则AG=CG;又∠DAG=∠FCG,∠DGA=∠FGC.
∴⊿DAG≌⊿FCG(ASA),AD=FC.

故:FC=CE.(等量代换)
2.证明:∵DF⊥AC.(已证)
∴DF垂直平分AC.(垂径定理)

3.解:连接AO.AG=AC/2=4,则DG=√(AD²-AG²)=3.
设圆的半径为X. AO²=AG²+GO²,即X²=4²+(X-3)², X=25/6.