Question

如图,在RT△ABC中,∠B=90°,BC=5根号3,∠C=30°,点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速

运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是T秒（T>0）过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF。
1.求证AE=DF
2.四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的T值；如果不能，说明理由
3.当T为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由

Answer 1

1. CD=2T, AE=DF=T
2..因AE//DF,且AE=DF,所以AEFD为平行四边形, 当AE=AD时, AEFD为棱形
故 当T=10 - 2T时,AEFD为棱形
3. 这里有2种可能, ∠EDF=90°或者∠DEF=90°。
∠EDF=90°时， DEBF为矩形，DF=EB=AB - AE, 即 T = 5 - T
∠DEF=90°时，则∠ADE=90°，所以2AD=AE, 即 10 - 2T = T,
分别解T，若T满足0< T < 5, 符合条件。

Answer 2

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（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF．
（2）解：能．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB=BC•tan30°=53×
33=5，
∴AC=2AB=10．
∴AD=AC-DC=10-2t．
若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10-2t，t=103．
即当t=103时，四边形AEFD为菱形．
（3）解：①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．
即10-2t=2t，t=2.5．
②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵∠A=90°-∠C=60°，
∴AD=AE•cos60°．
即10-2t=12t，t=4．
③∠EFD=90°时，此种情况不存在．
综上所述，当t=2.5或4时，△DEF为直角三角形．