Question

怎么判断一个矩阵是实对称矩阵

Answer 1

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若A具有k重特征值λ0　必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)必为n-k，其中E为单位矩阵。

5、实对称矩阵A一定可正交相似对角化。

性质：

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。

Answer 2

实对称矩阵的定义需要满足两个条件：

1. 是对称矩阵。

2. 是实数矩阵

• 对称矩阵很好判断，即矩阵转置后与原矩阵相等。

因此不难看出其中一个必要条件是矩阵必须满足是n阶方阵。

• 实数矩阵，也容易判断，矩阵的共轭矩阵是其自身。

结合上述条件，也可以得到这样的等价判断条件：

实对称矩阵⇔共轭转置矩阵(又称埃尔米特共轭转置)是其自身。

Answer 3

1. 所有元素都是实数
2. 对称元素都相等，也就是A(x,y)=A(y,x)
这不是根据定义直接可以看出么？

追问

那如果A^T=A*,怎么判断是实对称矩阵，谢谢详细解答

追答

这两条还不够详细么？这两条检查起来又不难，而且也是充要条件。是你没有理解这两条吧？
A^T=A*，恐怕一般都不是实对称矩阵。实对称应该是A^T=A，没有*

Answer 4

A^T=A就是实对称矩阵

追问

那如果A^T=A*,怎么判断是实对称矩阵，谢谢详细解答

Answer 5

你让Aij=aij，就是你问的A*=AT，实对称阵可相似对角化，然后用这两个条件解题