Question

如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．

若⊙O的半径为根号3，DE=3，求AE．

Answer 1

解：连接BE
∵AB为直径
∴∠ABE=90°
∵D是BC边的中点,DE=3
∴BC=2DE=6
∵⊙O的半径为根号3
∴AB=2√3
∴AC=√AB²+BC²=4√3
∴AB=1/2AC
∴∠BCA=30°
∴∠BAC=60°
连接OE
∴⊿AOE是等边三角形
∴AE=OA=√3
希望满意采纳。

Answer 2

自己画图：E点在圆O上，AB是直径； 所以三角形ABE中，BE⊥AE；
连接OD可知：OD 是三角形ABC的中位线，所以OD∥AC；从而CD⊥BE；
又OB=OE=√3；所以OD与BE的交点为BE的中点；那么BD=DE=3；
于是BC=6；三角形ABC中：斜边AC＝√（√3）²+3²=2√3
cosA=AB/AC=1/2; A=60°;
三角形ABE中，cos60°=AE/AB; 所以AE=ABcos60°=√3/2

Answer 3

解:连接OD
∵AB为直径
∴∠BEA=90°
∵CD=BD
∴BC=2DE=6,
∵∠ABC=90° BA=2根号3
∴勾股定理得AC=根号(36+12)=4根号3
∵∠AEB=∠ABC=90° ∠A=∠A
∴△AEB∽△ABC
∴AE/AB=AB/AC即AE/2根号3=2根号3/4根号3
∴AE=根号3

Answer 4

证明：(1)
设圆心为O，可知O在AB中点，
连接OB、BE、DE
因为AB为直径，所以∠AEB为直角
则∠BEC也为直角
而DE为直角三角形CEB的斜边中线，
所以∠DEB=∠DBE
又知在直角三角形ABE中，
EO为斜边中线，所以∠OBE=∠OEB
而∠DBE+∠OBE=∠ABC=90°
所以∠DEB+∠OEB=90°
所以OE⊥DE
(2)
因为OE=根号3,DE=3
在直角三角形ODE中，由勾股定理的OD=2倍根号3
则∠DOE=∠DOB=60°
即∠EOA=60°
易得三角形AOE为正三角形，
AE=OE=根号3