Question

求函数y=tan^2+2atanx+5在x∈[-π/4,π/4]时的值域

Answer 1

令t=tanx
则在此区间有-1=<t<=1
y=t^2+2at+5=(t+a)^2+5-a^2
开口向上，对称轴为t=-a
分别讨论a
1)当a>1时，在[-1, 1]上单调增 ，ymin=y(-1)=6-2a, ymax=y(1)=6+2a, 此时值域为[6-2a, 6+2a]
2）当a<-1时，在[-1,1]上单调减，ymin=y(1)=6+2a, ymax=y(-1)=6-2a, 此时值域为[6+2a, 6-2a]
3) 0<a<=1时，ymin=y(-a)=5-a^2 , ymax=y(1)=6+2a, 此时值域为[5-a^2, 6+2a]
4）当-1=<a<=0时，ymin=y(-a)=5-a^2, ymax=y(-1)=6-2a, 此时值域为[5-a^2, 6-2a]

Answer 2

令t=tanx
x∈[-π/4,π/4]
t=tanx∈[-1,1]
y=tan²x+2atanx+5
=t²+2at+5
=(t+a)²+5-a²
①
-a<-1,即a>1时
最小值是(-1+a)²+5-a²=6-2a,最大值是(1+a)²+5-a²=6+2a
所以值域是[6-2a,6+2a]
②
-1≤-a<0
即0<a≤1时
最小值是(-a+a)²+5-a²=5-a²,最大值是(1+a)²+5-a²=6+2a
所以值域是[5-a²,6+2a]
③
0≤-a≤1
即-1≤a≤0时
最小值是(-a+a)²+5-a²=5-a²,最大值是(-1+a)²+5-a²=6-2a
所以值域是[5-a²,6-2a]
④-a>1
即a<-1时
最小值是(1+a)²+5-a²=6+2a,最大值是(-1+a)²+5-a²=6-2a
所以值域是[6+2a,6-2a]