Question

如何推导a^x的导数

正确方法小弟我已经知道了，但是我还是想不明白我的这种方法那里错了，请各位大虾指点
简单的说一下我的思路：
先用导数的定义把他它的导数表示出来，在取这个表达式的对数，然后当lim△X→0时求出这个表达式的对数的极限，然后就知道这个表达式的极限了
以下是步骤：
（这里为了方便，我用“b”代替△x）
（a^(X+b)-a^x）/b
取对数：
ln(（a^(X+b)-a^x）/b)
=ln（a^(X+b)-a^x）-lnb
=ln（a^X(a^b-1))-lnb
=lna^X+ln(a^b-1)-lnb
当limb→0时
ln(a^b-1)=lnb

所以ln(a^b-1)-lnb=0
所以limb→0（ln（（a^(X+b)-a^x）/b））=lna^X
所以lima→0（（a^(X+b)-a^x）/b）=a^X
望各位大侠能指点一下小弟，多谢

Answer 1

某些“专家”请你滚越远越好，挂着专家的名分，专门来放P

你错的地方在于，b→0时，ln(a^b-1) 和 lnb 同样趋向-无穷，但是趋向的速度是不一样的！所以不可代换成ln(a^b-1)=lnb！在高等数学里面，两个无穷大求差，结果可能是常数可能是0可能是无穷大。

Answer 2

你不是已经说清楚了吗？

追问

但是a^x的导数是a^x *lna......

追答

你这不对呀
应该是这样的
（a^(X+b)-a^x）/b
=a^X(a^b-1)/b
注意前面的是a^x不用算了，只用算后面的
lim(b→0) (a^b-1)/b