Question

已知可导函数y=f(x)满足f(x-2)=f(-x),函数y=f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线方程为y=2x+1,则f’(1)=

已知可导函数y=f(x)满足f(x-2)=f(-x),函数y=f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线方程为y=2x+1,则f’(1)= ,函数y=f(x)的图像在点（-3，f(-3)）处的切线方程为

Answer 1

导数的几何意义是切线的斜率，所以f'(1)就是函数y=f(x)的图像在悉让点（1，f(1)）处的切线的斜率，故睁宽局f'(1)=2

∵f(x-2)=f(-x),
∴f(-3)=f(-1-2)=f[-(-1)]=f(1)
又函数y=f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线方程为y=2x+1
∴点(1,f(1))满足切线方程，即f(1)=2×1+1=3
故f(-3)=f(1)=3
然后只要解出f'(-3)就行了。对f(x-2)=f(-x)的等号两边同时求导得：
f'(x-2)×(x-2)'=f'(-x)×(-x)'
即f'巧神(x-2)=-f'(-x)
∴f'(-3)=f'(-1-2)=-f'[-(-1)]=-f'(1)=-2
∴切线方程为y-f(-3)=f'(-3)(x-(-3)),即y-3=-2(x+3)
化为斜截式得：y=-2x-3