Question

。近几年来，我国许多地区常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨。现由天气预报得知，

其地在未来5天的指定降雨概率是：前三天均为50%，后两天均为80%，5天内任何一天的只in个时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨。（1）求至少有一天需要人工降雨的概率。（2）求不需要人工降雨的天数X的分布列和期望、

Answer 1

解：（1）5天全不需要人工降雨的概率是P1＝(
1
2
)3(
4
5
)2＝
2
25
，…（2分）
故至少有1天需要人工降雨的概率是1-p1=
92
100
=
46
50
=
23
25
．…（4分）
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，
由（1）知4天不需要人工降雨的概率是：
P（x=4）=（
1
2
）3C

1
2
•
4
5
×
1
5
+C

1
3
•（
1
2
）3（
4
5
）2=
7
25
，…（5分）
P（x=3）=
C
2
3
（
1
2
）3（
4
5
）2+C

1
3
（
1
2
）3C

1
2
（
1
5
）（
4
5
）+（
1
2
）3（
1
5
）2=
73
200
，…（6分）
2天不需要人工降雨的概率是：
P（x=2）=C

2
3
（
1
2
）3（
1
5
）2+C

1
3
（
1
2
）3C

1
2
（
1
5
）×（
4
5
）+（
1
2
）3×（
4
5
）2=
43
200
，…（7分）
1天不需要人工降雨的概率是：P（x=1）=
11
200
，…（8分）
0天不需要人工降雨的概率是：P（x=0）=（
1
2
）3（
1
5
）2=
1
200
，…（9分）
不需要人工降雨的天数x分布列是：…（10分）
x 0 1 2 3 4 5
P
1
200
11
200
43
200
73
200
7
25
2
25
不需要人工降雨的天数x的期望是：
F1＝0×
1
200
+1×
11
200
+2×
43
200
+3×
73
200
+4×
7
25
+5×
2
35
=3.1．…（12分）