抛物线y=ax^2-2ax+m经过点A(-1,0),与x轴另一交点为B,交y轴负半轴于C点,且S△CAB=6 40
(3)若点P为抛物线上的一个动点,是否存在点P,是△ACP为等腰三角形?若存在,写出P点坐标(至少一个);若不存在,说明理由。 展开
解:(1).
对称轴x=- b/2a=-(-2a)/2a=1, ∴AB=2×2=4,∴B(3,0)
又∵S△CAB=6=½ × 4 ×OC, ∴C(0,-3)
∴把B(3,0),C(0,-3)代入y=ax²-2ax+m得
m= -3, a=1
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3
(2)在x正半轴上取一点D,使S△ACD=9
½ ×AD×3=9 ∴AD=6, ∴D(5,0),过点D作DM//AC交抛物线与点M,交y轴于点E
则kDM=kAC= -3,S△ACM=9, △ACO∽△DEO
∴OD/3=5/1 ∴OD=15
∴DM解析式为y=-3x+15
与抛物线y=x²-2x-3联立,得x²+x-18=0
x=﹙-1±√73﹚/2
∵M在y轴右侧,∴x=﹙-1+√73﹚/2 代入y=-3x+15得y=(33-3√73)/2
∴M( ﹙-1+√73﹚/2 ,(33-3√73)/2 )
(3)连接AC求出直线为y=-3x-3,AC中点为(-0.5,-1.5)与y= -3x-3垂直的直线为y=x/3+c.
把(-0.5,-1.5)代入求c=-3/4
得 直线y=x/3-4/3
与抛物线y=x^2-2x-3联立解得x=(7±√109)/6
代入y=x/3-4/3得y=(31±√109)/6
∴P1( (7+√109)/6,(31+√109)/6 ), P3( (7-√109)/6,(31-√109)/6 ) )
解:
(1)
将A(-1,0)代入解析式得m=-3a,a=-⅓m
∵m<0,∴a>0,B在A点右侧
由ax²-2ax-3a=0得a(x²-2x-3)=0
即a(x+1)(x-3)=0
∵a≠0,∴x1=-1,x2=3
∴B(3,0)
∴AB=4,
∵S△CAB=6=½AB•OC
∴OC=3,即m=-3
∴抛物线解析式为:y=x²-2x-3
(2)
∵S△AMC>S△ABC
∴M在B点上方
作MD∥AC交y轴于E,CD⊥MD于D
AC=√(OA²+OC²)=√(10)...①
S△AMC=½AC•h=9
∴CD=h=18/√(10)...②
∵AC∥DE,∴∠ACO=∠CED
∴△AOC∽△COE
∴CE/CD=AC/OA
即CE=AC•CD/OA=18
易得直线AC解析式为:y=-3x-3
∴直线DE为:y=-3x-3+18=-3x+15[将AC向上平移CE,即上移18个单位]
联立y=-3x+15,y=x²-2x-3解得
x1=[-1-√(73)]/2(舍去),x2=[-1+√(73)]/2,y2=[33-3√(73)]/2
∴M([-1+√(73)]/2,[33-3√(73)]/2)
(3)
作AC中点F,作FP⊥AC,FP交抛物线于P
则F(-½,-3/2),直线PF斜率为⅓
∴PF解析式为:y=⅓x-4/3,联立抛物线y=x²-2x-3解得
x1=[7-√(109)]/6(舍去),x2=[7+√(109)]/6代入PF解析式
得y=[√(109)-17]/18
∴P([7+√(109)]/6,[√(109)-17]/18)
连接AC求出直线为y=-3x-3,AC中点为(-0.5,-1.5)与y=-3x-3垂直的直线为y=(1/3)x+c过AC中点为(-0.5,-1.5)求出与y=-3x-3垂直的直线为y=(1/3)x-4/3,直线y=(1/3)x-4/3与抛物线y=x^2-2x-3的交点即为P点