Question

直三棱柱ABC一A1B1C1 的底面为正三角形，侧棱B1B C1C 上分别有点D，E且 EC=2DB 求证：平面ADE⊥平面ACC1A1

Answer 1

做辅助线：设CE的中点为F，在ACA1C1面上过F做AC的平行线与AE相交于H，FH的延长线交AA1于G；
直三棱柱各棱互相平行故BD//FC，又有BD=FC，因此四边形BDFC是平行四边形；
因此BC//DF，又因为FG//CA，所以面GDF//面ABC；
△ABC为正三角形，因此△GDF也是正三角形；
在△ACE中，FH//AC且F是CE的中点，因此FH是△ACE中位线，因此H是AE的中点；
易证△BD与△DFE全等，因此AD=DE，△ADE是等腰三角形，DH是底边AE上的高，DH⊥AE；
四边形ACFG是平行四边形，又因为FH是△ACE中位线，因此FH=1/2AC=1/2FG，H是正△DFG底边FG上的中点，显然有DH⊥GF；
GF、AE在面ACC1A1上，因此DH⊥面ACC1A1；
又因为DH在面ADE上，因此面ADE⊥面ACC1A1。