Question

圆(x-1)^2+y^2=1含于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1内,问a,b取何值时,椭圆面积最小

Answer 1

椭圆面积S=πab，所以S最小值为π*2分之3倍根号3。

设点坐标，利用均值不等式求解。设椭圆上任一点P（acosθ，bsinθ），圆心为E（1,0）的圆内切于椭圆，即求椭圆上任一点P到点E距离最小值为1。

两点距离公式求得PE^2=（a^2-b^2）cosθ^2-2acosθ+b^2+1=y，二次函数方法求得y最小值，由y最小值=1整理可得b^4-a^2b^2+a^2=0，利用三项均值不等式得ab最小值为2分之3倍根号3。

椭圆简介

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

Answer 2

设点坐标，利用均值不等式求解。（该题是高数，超出高考要求）
设椭圆上任一点P（acosθ，bsinθ）（θ为0到90度即可），圆心为E（1,0）的圆内切于椭圆，即求椭圆上任一点P到点E距离最小值为1。
两点距离公式求得PE^2=（a^2-b^2）cosθ^2-2acosθ+b^2+1=y，二次函数方法求得y最小值，由y最小值=1整理可得b^4-a^2b^2+a^2=0，利用三项均值不等式得ab最小值为2分之3倍根号3（当且仅当a=根号2倍b取等号）。
椭圆面积S=πab，所以S最小值为π*2分之3倍根号3。
欢迎再来提问。

Answer 3

联立两个二元二次方程，消掉y，得到关于x的一元二次方程，然后令△=0，(椭圆刚好与圆相切时椭圆最小）可得：a^2+b^4-a^2*b^2=0，a^2=b^4/(b^2-1)，
椭圆面积S=πab，求πab的最小值就是求ab的最小值，这里求(ab)^2的最小值方便点.
设f(b)=(ab)^2=a^2*b^2=b^6/(b^2-1)，对f(b)求导，令f'(b)=2b^5*(2b^2-3)/(b^2-1)^2=0，可得b^2=3/2，此时a^2=9/2
所以当a=2分之根6，b=2分之3根2时，椭圆面积最小为π*2分之3根2

追问

谢谢。但是不是最佳方法吧，可能要用多元函数条件极值方法求解。