Question

证明若n维线性空间V的线性变换@有n个不同的特征值,则V恰有2^n个@的不变子空间

Answer 1

记V的特征值为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为e1, e2, ..., en。{e1, e2, ..., en} 构成空间的一组基。

假设M是任一V的不变子空间。
首先证明如下结论：
(※) 对于任意v∈M，v=k1*e1+k2*e2+...+kn*en，如果ki≠0，那么ei∈M。

不失一般性，假定k1, k2, ..., kj≠0，k(j+1)=...=kn=0，考虑矩阵
| 1 λ1 λ1^2 ... λ1^(j-1) |
| 1 λ2 λ2^2 ... λ2^(j-1) |
(v, Av, A^2v, ..., A^(j-1)v)=(k1*e1, k2*e2, ...., kj*ej) | ............................... |
| ............................... |
| 1 λj λj^2 ... λj^(j-1) |
最右端项（记为C）为范德蒙矩阵，可逆，故
(k1*e1, ... , kj*ej) = (v, Av, ..., A^(j-1)v) * C^-1
由于v∈M，M不变，故Av, ..., A^(j-1)v∈M，进而k1*e1, ..., kj*ej∈M, k1, ..., kj≠0， 故e1, ..., ej∈M。
这就证明了结论(※)

下面回到原题。
上述结论证明V的任何不变子空间必由V的特征向量张成，对于任一特征向量，它可以属于或不属于不变子空间，有两种选择，总共n个特征向量，一共有2^n种不同情况。 Q.E.D.

追问

谢谢。e1, ..., ej都属于M的话，不变子空间不就有相同的基了？不明白(※)式的作用