Question

已知定义在(负无穷,0)并(0,正无穷)上的函数f(x)满足对任意的x1,x2有

有f(x1x2)=f(x1) +f(x2).如果f(根号6)=1,且f(x)在(0,正无穷)上是增函数,问是否存在实数a,使f(x)+f(x-a)<=2在区间[1-a,1+a]上恒成立,若存在求出a的取值范围,若不存在请说明理由

Answer 1

看能不能在下班前打完...打不完就不打了
令：X1=X2=1，可得f（1）=0
令X1=X2=-1，有f（1）=0=2f（-1），知f（-1）=0
令X1=-1，有f（-x2）=f（-1）+f（x2）=f（x2），知f（x）是偶函数
则：（负无穷，0）上，f（x）是减函数

2=1+1=f（根号6）+f（根号6）=f（6）
则：f(x)+f(x-a）=f（x²-ax）≤f（6），则︳︳x²-ax ︳≤6（这一步你可以画个草图就知道了，要左右两边同时考虑）
到这一步就变成二次函数的知识了，我就不一步一步的打字了...自己慢慢去做

我再给你提醒两点：1、[1-a,1+a]这个区间内，要注意是否包含了“0”；
2、这一点很重要：当你看到“f(x1x2)=f(x1) +f(x2)”时，大脑里首先联系到：对数函数！再看，f(根号6)=1，可联系底数a=根号6
同理，看到f（x1）*f（x2）=f（x1+x2），就立刻联系指数函数，对应着思考，会节省很多脑力；
3、自己多动手很重要！学习的时候注意学思维，然后动手记忆巩固并举一反三！

hehe 看到他们两位解答，又上来加一句，他们没考虑到偶函数和负半轴，也就是没考虑到还需要x²-ax≥-6，你别学他们哦呵呵

Answer 2

易知f(6)=2 f(x)＋f(x－a)=f(x∧2－ax)≤f(6)
由f单调递增，知x∧2－ax≤6 (x－a/2)∧2－a∧2/4≤6
讨论a 当a/2≤1时，f(1＋a)取最大值 且≤6得a≤5
所以a≤2
当a/2大于1时，f(1－a) 取最大值 且≤6 得(2a－5)(a＋1)≤0 所以－1≤a≤5/2 所以2＜a≤5/2
综上可知 a≤5/2

Answer 3

f(x1x2)=f(x1) +f(x2) => f[x1*(x2/x1)]=f(x1)+f(x2/x1)=f(x2) => f(x2)- f(x1)= f(x2/x1)

设x1<x2<0 => -x1>-x2>0 因为f(x)在(0,正无穷)上是增函数
f(x1/x2)=f( -x1)-f(-x2)>0 => f(x1/x2)=f( x1)-f( x2)>0 => f(x)在(负无穷,0)上单调递减
f(x1x2)=f(x1) +f(x2) => f(1)=0 =>f(-1)=0 =>f(-x1/x1)=f(-1)=f(-x1)-f(x1)=0 =>f(1)=f(x1)

当f(x)+f(x-a)<=2 => f[x(x-a)]<=2=f(6)
设g(x)=x(x-a)其在定义域上的最大值为g(1+a)=1+a>0
1、1-a>a/2 => 0<a<=2/3时 ，其最小值为g(1-a)=(1-a)(1-2a)
当1/2<a< = 2/3时函数值小于0 故 0>(1-a)(1-2a)>=-6 ,1+a<=6 => 恒成立

当0<a<1/2时，函数值大于0 => 1+a<=6 恒成立
2、1-a<a/2 => a>2/3 函数g(x)最小值为g(a/2) =-(a^2)/4 >=-6,其最大值为1+a<=6 =>2/3<a<=根号24.
综上当0<a<=根号24时f(x)+f(x-a)<=2在区间[1-a,1+a]上恒成立

Answer 4

由题意得，函数为增函数，f（根6）＝1，则f（6）＝2，即x（x—a）≤6.分别把x＝(1-a).x＝(1 a)代入，算出结果就行了。