Question

问一道高数题

用欧拉公式求∫e^ax*sinbx dx

Answer 1

由Euler公式, e^(ibx)=cos(bx)+i*sin(bx), e^(-ibx)=cos(bx)-i*sin(bx).
所以sin(bx)=(e^(ibx)-e^(-ibx))/(2i).
代入整理得e^ax*sinbx=(e^((a+ib)x)-e^((a-ib)x))/(2i).
作为指数函数的和可求得一个原函数(e^((a+ib)x)/(a+ib)-e^((a-ib)x)/(a-ib))/(2i),
再用Euler公式化为三角函数形式为e^(ax)*(a*sin(bx)-b*cos(bx))/(a^2+b^2)

Answer 2

∫e^(ax)*sinbx dx
=(1/a)∫sinbx de^(ax)
= (1/a) sinbx .e^(ax) -(b/a) ∫e^(ax) . cosbx dx
=(1/a) sinbx .e^(ax) - (b/a^2)∫cosbx de^(ax)
=(1/a) sinbx .e^(ax) - (b/a^2) cosbx .e^(ax) - (b^2/a^2) ∫sinbx e^(ax) dx
[(a^2+b^2)/a^2] ∫e^(ax)*sinbx dx= (1/a) sinbx .e^(ax) - (b/a^2) cosbx .e^(ax)
∫e^(ax)*sinbx dx = e^(ax)(asinbx -bcosbx)/(a^2+b^2)

追问

亲，谢谢啦~不过我要的是用欧拉公式求解