Question

高中数学数组问题：

正整数按下列方法分组：{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9}, {10,11,12,13,14,15,16},...,记第n组各数之和为An，则第n组中第一个数、最后一个数各是多少？各数之和为An等于多少？　为什么？

Answer 1

依题意得：
第1组 个数1
第2组 个数3

第3组 个数5

......
第n组 个数2n-1
设n组前的数有x个,根据等差数列前n项和公式Sn=[(a1+an)×n]／2=n2
有等差数列得
x=1+3+5+...+2(n-1)-1=(n-1)²=n²-2n﹢1
第n组为 n²个
所以：第n组的第一个数为n²-2n﹢2，最后一个数为n²个；
根据题可以看出，每个组又是一个以1为公差的等差数列，
所以An=[(a1+an)×n]／2=﹛[(n²-2n+2)+n²](2n-1)﹜／2=(n²-n+1)(2n-1)=2n³-3n²+3n-1

Answer 2

规律：自然数顺序排列，第n组有2n-1个数。
n≥2时，前n-1组的数的个数：
2[1+2+...+(n-1)]-(n-1)=2(n-1)n/2 -(n-1)=(n-1)²
第n组的第一个数：(n-1)²+1=n²-2n+2
第n组的最后一个数(n²-2n+2)+(2n-1) -1=n²

An=[(n²-2n+2)+n²](2n-1)/2=(n²-n+1)(2n-1)=2n³-3n²+3n-1

Answer 3

第n组的最后一个数:n²
第n组的第一个数：(n-1)²+1=n²-2n+2